E=mc²

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Edificio del COVRA con un omaggio alla formula.

è l'equazione che stabilisce l'equivalenza e il fattore di conversione tra l'energia e la massa di un sistema fisico.

"E" indica l'energia contenuta o emessa da un corpo, "m" la sua massa e "c" la costante velocità della luce nel vuoto.

Venne enunciata da Albert Einstein nel 1905 nell'ambito della relatività ristretta, benché non compaia nel primo articolo sulla teoria del giugno, ma in un secondo del settembre intitolato "L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?"[1].

È probabilmente la più famosa formula della fisica, grazie all'intreccio di novità, semplicità ed eleganza.

Significato della formulamodifica | modifica wikitesto

Fino al 1905 tutti pensavano che la massa e l'energia fossero due realtà fisiche molto diverse, completamente separate e senza punti di contatto. Ma Einstein in quell'anno (passato alla storia come il suo annus mirabilis) comprese che queste due realtà fisiche, apparentemente così diverse, sono in verità strettamente legate da un valore numerico molto preciso: il quadrato della velocità della luce nel vuoto (c²). Questa geniale e semplice formula, che all'epoca risultò assolutamente rivoluzionaria, stabilisce che massa ed energia sono equivalenti, come se fossero le due facce della stessa “medaglia”. Nella relazione di Einstein sono riassunte proprietà fondamentali della massa (materia), evidenziate dalle sue interazioni con l'energia:

  1. la massa, considerata isolatamente, non si conserva ma è soggetta a continue variazioni; in particolare aumenta di una quantità pari a E/c² quando assorbe energia (radiazione elettromagnetica), mentre diminuisce quando perde energia, ad esempio emettendo fotoni; in questo caso alla quantità di massa scomparsa corrisponde un'energia emessa pari a mc²;
  2. dalla 1 consegue che la massa non è altro che una forma di energia;
  3. qualsiasi corpo a riposo possiede un'energia per il solo fatto di avere una massa; questa energia di riposo si indica con la formula = ed è posseduta sia dalle particelle atomiche e subatomiche sia dai corpi macroscopici.
  4. la conservazione dell'energia meccanica ricomprende, oltre all'energia cinetica e all'energia potenziale, anche la massa quale ulteriore forma di energia; si ottiene così l'energia totale meccanica del corpo, proporzionale alla massa a riposo.[2]

La formula prende in considerazione:

  • E: rappresenta l'energia meccanica, potenziale più cinetica, espressa in joule (= N•m = W•s = kg•m²/s²);
  • m: rappresenta la massa a riposo, espressa in chilogrammi (kg);
  • c: rappresenta la velocità della luce nel vuoto, espressa in m/s: 299 792 458 m/s, generalmente approssimata a 300 000 000 m/s (3 × 108 m/s). Pertanto c2 = 9 × 1016 m²/s².

Per meglio chiarire come funziona questa notissima equazione, si consideri il seguente esempio. Consideriamo l'uranio-238 che di per sé non è fissile e costituisce oltre il 99% dell'uranio che si trova in natura (solo lo 0,7% dell'uranio reperibile naturalmente è uranio-235, necessario per la fissione nucleare; per tale motivo l'uranio viene opportunamente arricchito). Tuttavia un nucleo di uranio-238 può decadere naturalmente formando un nucleo di torio-234 e un nucleo di elio-4. Sommando la massa dei due nuovi nuclei si rileva, però, che essa è minore del nucleo originario di uranio; in particolare risulta mancante una quantità di massa pari a 7,6 × 10−30 kg, che non è sparita, ma si è trasformata in energia. L'equazione di Einstein consente di determinare quanta energia è stata liberata dalla scissione del nucleo di uranio: E = (7,6 × 10−30 kg) × (9,0 × 1016 m²/s²) = 68,4 × 10−14 J = 6,84 × 10−13 J. Questo risultato è confermato sperimentalmente.

Ovviamente, conoscendo l'energia di una particella si può determinare la sua massa (= E/c²). Ad esempio conoscendo l'energia di una particella di materia (come avviene negli acceleratori di protoni ed elettroni) si può determinare la sua corrispondente massa.

L'enorme fattore di conversione (c2 = 89 875 517 873 681 764 m²/s²) che lega la massa e l'energia spiega come concentrando un grosso quantitativo di energia (= mc2) si possa generare una piccola quantità di massa, e anche come partendo da una piccolissima massa (= E/c2) si possa ottenere un grandissimo quantitativo di energia. Ad esempio un corpo la cui massa è pari a un chilogrammo avrà un'energia di circa 9 × 1016 J: per comparazione, una bomba atomica media rilascia 3,2 × 1011 J, circa 280 000 volte meno (c'è da dire però che un ordigno nucleare converte in energia appena l'1% della massa a disposizione).

È quindi comprensibile come la concezione einsteiniana getti una luce unificante sulla realtà fisica. La massa è, in sostanza, una forma di energia estremamente concentrata che in determinati processi fisici può essere liberata (es. massa solare, centrali atomiche, decadimento di materiali radioattivi, emissione di radiazione elettromagnetica da parte di atomi e corpi materiali), così come l'energia può trasformarsi in materia, come si verifica negli acceleratori di particelle e nella collisione di fotoni. All'inizio del paragrafo si è detto che l'equivalenza tra massa ed energia fa pensare alle due facce della stessa “medaglia”; ma poiché la massa è una forma di energia, si può ora precisare che questa “medaglia” sia, in ogni caso, quella dell'energia.

Prima del 1905 esistevano due leggi (o princìpi) di conservazione ben distinte e separate: la legge di conservazione della massa, scoperta da Lavoisier, e la legge di conservazione dell'energia (primo principio della termodinamica), alla cui scoperta hanno contribuito, nella seconda metà del 1800, diversi scienziati (Joule, Carnot, Thomson, Clausius e Faraday): “nulla si crea e nulla si distrugge, ma tutto si trasforma”. Einstein ha unificato le due leggi in un unico principio di conservazione, che coinvolge unitariamente tutti i processi fisici di trasformazione della massa in energia e viceversa, dato che l'una può trasformarsi nell'altra secondo una esattissima relazione matematica. Ciò che resta sempre costante sul nostro piccolo pianeta e nell'universo è la somma di massa ed energia. Con Einstein è nato, quindi, il principio di conservazione della massa-energia.

La nuova concezione di Einstein, che dalla massa-energia si estende allo spazio-tempo, si contrappone nettamente a quella di Newton, il quale riteneva che il tempo fosse assoluto e perciò completamente separato dallo spazio.

Un esempio dell'enorme quantità di energia contenuta nella materia si ha nel decollo dello Space Shuttle: di tutto il propellente usato, solo un grammo diventa energia, mentre tutto il resto si converte in fumo e prodotti della combustione. Utilizzando l'energia nucleare la resa aumenta, ma in una ordinaria bomba atomica, per esempio, viene convertito in energia solo lo 0,5% della massa totale del materiale fissile.

Se fosse possibile convertire per intero la massa in energia, i problemi energetici che oggi fanno tanto preoccupare sarebbero senza alcun dubbio risolti. Basti pensare che un solo grammo di materia equivale a 90 000 miliardi di joule (9 × 1013 J = 90 000 000 MJ = 90 000 GJ = 90 TJ). Poiché 1 kWh = 3,6 × 106 J = 3 600 000 J, un grammo di materia equivale a 25 000 000 kWh (= 25 000 MWh = 25 GWh).

La conversione di un chilogrammo di massa (equivalente a 90 000 TJ, ossia a 25 miliardi di kWh = 25 000 000 MWh = 25 000 GWh = 25 TWh) coprirebbe, in pratica, il consumo mensile di energia elettrica in Italia, che nel 2004 è stato in media di 24 490 GWh.

L'equivalenza massa – energia ha dimostrato la sua straordinaria potenza, anche con le bombe atomiche. La bomba di Hiroshima era di 13 kilotoni, che equivalgono a 54,6 TJ (13 × 4,2 × 1012 J); ma questa energia rappresenta soltanto il 60% di quella che sarebbe sprigionata dalla conversione di un solo grammo di materia (90 TJ).

Un fenomeno di completa e immediata conversione della massa in energia potrebbe verificarsi soltanto nel caso in cui la materia entrasse in contatto con l'antimateria; qui bisogna precisare un punto che divulgativamente si trascura spesso: non è che la materia si annichila quando urta l'antimateria, perché nell'urto si possono urtare solo le particelle, per esempio nel caso di un atomo di idrogeno e di un antiatomo di idrogeno abbiamo: idrogeno, protone ed elettrone; antiidrogeno, antiprotone e positrone; solo l'urto della particella con l'antiparticella porta all'annichilazione, positrone che urta elettrone, protone che urta antiprotone. Per questo è difficile che a livello macroscopico si aggreghi abbastanza antimateria. Fortunatamente l'antimateria non è presente nella natura che ci circonda, altrimenti tutto quello che entrasse in contatto con essa ne verrebbe annichilito. La conversione della massa in energia, salvo questo caso, non è mai immediata, mentre è in molti casi completa: in una centrale nucleare, la differenza della quantità di uranio rilevabile dopo la reazione a catena, rispetto a quella iniziale, è esattamente equivalente all'energia prodotta. Successivamente intervengono dispersioni in calore, ma la reazione a catena è una trasformazione a rendimento unitario.

Va sottolineato che l'equazione di Einstein è stata verificata sia nei fenomeni fisici macroscopici, come ad esempio per l'energia solare, sia a livello subatomico nelle collisioni tra particelle-materia (elettroni, protoni e neutroni) che generano nuove particelle aventi complessivamente la stessa energia (massa) delle particelle originarie. Lo stesso vale per le particelle-forza: dalla collisione di due fotoni scaturisce una coppia elettrone-positrone che, in tempi infinitesimali, si annichilisce formando una nuova coppia di fotoni.

L'energia solare, ossia quando la massa diventa energiamodifica | modifica wikitesto

Sesta e ultima scultura della "Berliner Walk of Ideas", realizzata in occasione del Campionato mondiale di calcio 2006 (Lustgarten, di fronte al Altes Museum, a Berlino)

Nel Sole, che ha una temperatura interna di 15 milioni di kelvin, mediante le reazioni di fusione termonucleare (fusione protone-protone dei nuclei di idrogeno), ogni secondo 600 000 000 di tonnellate di idrogeno si trasformano in 595 500 000 tonnellate di elio. Quindi, dopo questa trasformazione, mancano all'appello 4 500 000 tonnellate di idrogeno (pari allo 0,75%) che sembrano svanite nel nulla; in realtà questa massa mancante si è trasformata direttamente in energia, ossia in radiazione elettromagnetica, secondo l'equazione di Albert Einstein E = mc2.

Inserendo questo valore della massa nell'equazione di Einstein (dove l'energia è espressa in joule = Ws, la massa in kg e 'c' in m/s), si calcola che a esso corrisponde una potenza pari a: W = 4 500 000 000 × (9 × 1016) = 405 × 1024 watt, ossia a 405 000 miliardi di terawatt (TW), una quantità impensabile a livello terrestre. Tutta la straordinaria potenza della nostra stella è dovuta alla conversione in energia di questa infinitesima, per il Sole, quantità di massa, paragonabile approssimativamente alla massa di un piccolo gruppo di montagne sulla terra.

Per capire l'enormità di questa energia, che espressa in wattora equivale a 112 500 000 000 TWh, il solo dato che può fungere da termine di paragone è la produzione mondiale di energia elettrica, che nel 2005 è stata di 17 907 TWh (equivalenti a 716,28 kg di massa). Detto in altri termini, per eguagliare l'energia prodotta dal Sole in un solo secondo, tutti gli impianti di produzione di energia elettrica del nostro pianeta dovrebbero funzionare a pieno regime per i prossimi 6 282 459 anni.

Anche il processo di fusione nucleare, come tutti i processi fisici di trasformazione della massa in energia e viceversa, avviene nell'assoluto rispetto del principio di conservazione della massa–energia.

Conseguenzemodifica | modifica wikitesto

L'equazione illustra come l'energia massima ottenibile da un oggetto è equivalente alla massa dell'oggetto moltiplicata per il quadrato della velocità della luce nel vuoto.
Per comprendere l'importanza di questa relazione si può comparare la forza elettromagnetica con la forza gravitazionale. Nel caso dell'elettromagnetismo, l'energia è contenuta in un campo (elettrico e magnetico) associato con la forza e non contenuto nelle cariche. Nel caso gravitazionale, invece, l'energia è contenuta nella massa stessa. Fu un'altra grande scoperta di Einstein, fatta nel 1915, che la massa curvi lo spaziotempo, mentre così non fanno le cariche sedi delle altre tre forze fondamentali.

Questa formula fu cruciale nello sviluppo della bomba atomica. Misurando la massa di diversi nuclei atomici e ricavando da essa la massa dei singoli protoni e neutroni, si può ottenere una stima dell'energia di legame disponibile all'interno di un nucleo atomico. Questo fatto non mostra solo che è possibile rilasciare quest'energia di legame attraverso la fusione di nuclei leggeri o fissione di nuclei pesanti, ma anche che si può stimare la quantità di energia di legame che può essere rilasciata. È importante notare che i protoni e i neutroni non vengono consumati nel procedimento e che anch'essi rappresentano una certa quantità di energia.

Una curiosità: originariamente Einstein scrisse l'equazione nella forma (dove la invece della rappresentava l'energia irraggiata dal corpo di cui una parte della massa veniva completamente convertita in luce, mentre la era usata nella dimostrazione per rappresentare l'energia totale).

Un chilogrammo massa si converte completamente in:

Da notare che la conversione pratica della massa in energia, in virtù del secondo principio della termodinamica, non è quasi mai efficiente al 100%, anzi. Una conversione teoricamente perfetta risulterebbe dalla collisione di materia e antimateria; in molti casi reali si formano dei sottoprodotti al posto di energia, e perciò solo una piccola parte di massa viene effettivamente convertita. Nell'equazione la massa viene convertita in energia, per cui per chiarezza è più corretto parlare di conversione.

Applicabilità dell'equazionemodifica | modifica wikitesto

si applica di frequente a un oggetto fermo rispetto a un dato sistema di riferimento, con m che ha il significato di massa a riposo m0. Lo stesso oggetto potrebbe però essere in moto per un osservatore solidale a un altro sistema di riferimento; in questo caso l'equazione è ancora applicabile, ma per m si deve intendere la massa relativistica (vedi sotto).

Uso della massa relativisticamodifica | modifica wikitesto

Gli articoli originali di Einstein (ad esempio [1]) trattavano 'm' come "massa relativistica". Questa si relaziona alla "massa a riposo" m0 (cioè la massa dell'oggetto nel sistema di riferimento in cui è in quiete) tramite il Fattore di Lorentz nel modo seguente:

Per ottenere l'equazione dall'equazione originaria dell'energia relativistica

poniamo , cioè . Ciò significa che solo nel caso particolare in cui l'oggetto non si sta muovendo otteniamo , a qualsiasi altra velocità dovremmo aggiungere il termine dell'equazione originaria. Sostituendo la massa a riposo m0 con la massa relativistica m nell'equazione originaria otteniamo

che è quindi valida sempre; in particolare, ponendo nell'equazione otteniamo , per cui a riposo, cioè a velocità nulla, la massa relativistica è uguale alla la massa a riposo, e l'equazione può essere riscritta come . Di conseguenza, usando la massa relativistica, l'equazione può applicarsi a oggetti in quiete o in moto.

Uso della massa a riposomodifica | modifica wikitesto

La massa relativistica è usata abbastanza poco dai fisici moderni, che usano per indicare la massa a riposo generando spesso confusione; infatti in quest'ottica è l'energia a riposo dell'oggetto e si applicherebbe solo agli oggetti in quiete. La forma corretta dell'equazione che si applica indifferentemente per un oggetto in quiete o in movimento è

,

dove è il momento relativistico dell'oggetto e ponendo il caso a velocità zero si riduce a .

Velocità della luce come limitemodifica | modifica wikitesto

La velocità della luce non può essere superata da un punto materiale per la natura del termine :

Il radicando deve essere positivo e dunque la velocità del corpo strettamente minore di quella della luce, ovvero:

In altre parole, per accelerare un corpo alla velocità della luce serve una quantità infinita di energia. Tale fatto viene spiegato dal punto di vista dinamico con l'aumento dell'inerzia al crescere della velocità.

Approssimazione per basse energiemodifica | modifica wikitesto

Dato che l'energia a riposo è , e l'energia totale è data dall'energia cinetica più l'energia a riposo, l'energia cinetica relativistica è data da


Espandendo in serie di Taylor

.

si può mostrare che per piccole velocità vale un'approssimazione all'espressione classica dell'energia cinetica :

,

da cui:

,

o

.

L'espressione relativistica dell'energia non concorda con l'espressione classica Newtoniana, che è riferita solo all'energia cinetica, ma comprende anche una componente di energia del corpo in quiete che dipende solo dalla massa. L'espressione dell'energia cinetica invece è equivalente per basse velocità rispetto a c. Questo mostra come la relatività sia una teoria più generale rispetto alla meccanica classica. Portando quest'ultima fuori dai limiti entro i quali era stata teorizzata, cioè nel mondo dell'immensamente grande o immensamente veloce, Einstein provò che conteneva imprecisioni, mentre al di fuori di tali situazioni la meccanica classica rientra nella meccanica relativistica come caso particolare.

Einstein e il suo articolo del 1905modifica | modifica wikitesto

Einstein non utilizzò nel suo articolo del 1905 "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" ("L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?", pubblicato su Annalen der Physik il 27 settembre (uno degli articoli entrato a far parte della raccolta chiamata Annus Mirabilis Papers) i simboli con cui oggi conosciamo la sua equazione, ma lo fece successivamente. In quel suo primo articolo esaminò dapprima il caso della diminuzione di energia di un corpo sotto forma di radiazione in un sistema di riferimento in cui il corpo è in movimento e della conseguente perdita di massa; successivamente fece un passo teorico da gigante, generalizzando il concetto e affermando:

"Se un corpo perde l'energia L sotto forma di radiazioni, la sua massa diminuisce di L/c². Il fatto che l'energia sottratta al corpo diventi energia di radiazione non fa alcuna differenza, perciò siamo portati alla più generale conclusione che la massa di qualunque corpo è la misura del suo contenuto di energia; se l'energia varia di L, la massa varia nello stesso senso di L/9 × 10^20, misurando l'energia in erg e la massa in grammi. Non è impossibile che nei corpi nei quali il contenuto in energia sia variabile in sommo grado (per esempio nei sali di radio) la teoria possa essere sperimentata con successo"

In queste parole c'è una estrema consapevolezza di Einstein della validità universale della sua scoperta, anzi, con il suggerimento di indagare il radio, ovvero gli elementi radioattivi, c'è un anticipo di oltre 40 anni sui tempi e sui suoi contemporanei, i quali non si avvidero, diciamo pure fortunatamente, della cristallina indicazione.

Dimostrazione fisica di Fritz Rohrlichmodifica | modifica wikitesto

Il fisico austriaco Fritz Rohrlich è riuscito a dimostrare la formula in modo molto semplice ed elegante senza servirsi di espressioni matematiche di tipo relativistico, bensì basandosi esclusivamente sulle leggi della fisica classica, quali il principio di conservazione della quantità di moto e l'effetto Doppler.[3]

La dimostrazione può essere eseguita nel modo seguente:

Si consideri un corpo materiale di massa che si muova rispetto a un osservatore con la velocità costante molto bassa rispetto a quella della luce. Inoltre si prenda in considerazione un secondo osservatore in quiete rispetto a . Si supponga che a un certo istante il corpo emetta due quanti elettromagnetici della stessa energia ( = costante di Planck) l'uno in direzione del moto, l'altro in direzione opposta, dove è la frequenza dei fotoni osservata da in quiete rispetto a . L'osservatore invece, tenendo conto dell'effetto Doppler, misurerà una frequenza pari a (dove c è la velocità della luce nel vuoto) per il fotone emesso in direzione del moto e pari a per quello emesso in direzione opposta. L'energia radiante emessa all'istante che è osservata da sarà dunque pari a: da cui semplificando si ottiene:

1) (energia radiante emessa)

Inoltre, per il principio di conservazione, la quantità di moto del corpo osservata da prima dell'emissione deve essere pari alla somma delle quantità di moto di e dei due fotoni dopo l'emissione (si noti che la quantità di moto del secondo fotone, poiché emesso in direzione contraria al moto, va presa col segno negativo), quindi:

2) (equivalenza delle quantità di moto prima e dopo l'emissione) dove:

= massa del corpo C prima dell'emissione

= velocità del corpo C prima dell'emissione

= massa del corpo C dopo l'emissione

= velocità del corpo C dopo l'emissione

= quantità di moto del fotone emesso in direzione del moto

= quantità di moto del fotone emesso in direzione contraria a quella del moto

Data la natura simmetrica dell'effetto, l'osservatore non rileverà dopo l'emissione dei due fotoni alcun cambiamento di moto del corpo , che continuerà quindi a trovarsi in quiete rispetto a lui. Quindi per l'osservatore dopo l'emissione sia l'osservatore , sia il corpo continueranno a muoversi con velocità invariata. Perciò si conclude che = . Sostituendo nella 2) con e introducendo la riduzione di massa del corpo dopo l'emissione pari a: , dopo facili semplificazioni algebriche dalla 2) si ottiene:

da cui tenendo presente la 1) si ottiene che:

Vale a dire, che l'energia irradiata dal corpo è pari alla perdita di massa subita da in seguito all'emissione, moltiplicata per il quadrato della velocità della luce nel vuoto.

Contributi di altrimodifica | modifica wikitesto

Einstein non fu il solo ad aver messo in relazione l'energia con la massa, ma fu il primo a presentare questa relazione come parte di una teoria più grande, e oltre a ciò, ad aver dedotto la formula dalle premesse della sua teoria.

Secondo Umberto Bartocci, l'equazione sarebbe stata pubblicata due anni prima da Olinto De Pretto, un industriale di Schio, in provincia di Vicenza, in Italia, si tratta tuttavia di mera somiglianza formale delle due formule[4]. Anche se De Pretto avesse introdotto veramente la formula, sarebbe stato comunque Einstein a collegarla con la Teoria della Relatività, inserendosi poi la formula di De Pretto in un insieme di nozioni erronee o superate come la ricerca di una definizione di etere.[5]

Notemodifica | modifica wikitesto

  1. ^ (DE) Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?, testo originale
  2. ^ La fisica di Amaldi, vol. 2: termologia, onde, relatività (cap. 14), ed. Zanichelli, 2011.
  3. ^ (EN) Fritz Rohrlich, An elementary derivation of E=mc², in American Journal of Physics, vol. 58, nº 4, aprile 1990, p. 348.
  4. ^ De Pretto come Albert Einstein? " No definitivo"
  5. ^ U. Bartocci, Albert Einstein e Olinto De Pretto - La vera storia della formula più famosa del mondo, Ed. Andromeda, Bologna, 1999

Voci correlatemodifica | modifica wikitesto

Altri progettimodifica | modifica wikitesto

Collegamenti esternimodifica | modifica wikitesto