Leggi di Keplero

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search

Le leggi di Keplero sono tre leggi concernenti il movimento dei pianeti. Sono il principale contributo di Johannes von Kepler all'astronomia e alla meccanica.

L'astronomo tedesco le derivò studiando le osservazioni di Tycho Brahe. Isaac Newton, successivamente, dedusse dalle leggi di Keplero la spiegazione dinamica dei moti planetari introducendo, quale causa del moto, una forza, detta forza di gravitazione universale. Newton dimostrò anche il teorema inverso, ossia che dalla sua legge generale del moto e dalla forza di gravità si ottengono, in maniera equivalente, le leggi di Keplero.

Prima Legge (Legge delle orbite ellittiche, 1609)modifica | modifica wikitesto

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Derivazione delle leggi di Keplero.
Parametri caratteristici dell'orbita, con i nomi degli apsidi per il caso di un'orbita intorno al Sole

La prima legge afferma che:

«L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi

Con questa legge, Keplero propose un modello eliocentrico in cui le orbite non sono circolari ma ellittiche, e in questo modo fu il primo a rinunciare alla forma perfetta; egli fu supportato, nel farlo, dai dati osservativi ottenuti da Tycho Brahe. Questa legge è molto importante perché essa separa definitivamente la teoria eliocentrica di Nicolò Copernico dalla teoria geocentrica di Tolomeo.

Osserviamo che, poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono in un piano, detto piano orbitale. Per la Terra tale piano è detto eclittica.

L’equazione dell’ellisse è

Nella figura a fianco è rappresentata un'orbita ellittica, con indicati i suoi parametri caratteristici: semiasse maggiore (a), semiasse minore (b), semi-distanza focale (c), eccentricità (e).

Fra questi parametri sussistono le seguenti relazioni:

, da cui

Per l’ellisse l'eccentricità è compresa tra 0 e 1 (e = 0 per la circonferenza) ma per la maggior parte dei pianeti risulta e<<1. L'ellisse in figura ha un'eccentricità di circa 0,5 : un'ellisse con tale caratteristica è assai frequente tra le orbite degli asteroidi. Alcune eccentricità dei pianeti: 0,0167 per la Terra, 0,0934 per Marte e 0,2482 per Plutone (pianeta nano). Solo Mercurio e Marte hanno eccentricità di un certo valore, le altre orbite possono essere considerate circolari.

Le parti più importanti dell'ellisse sono il raggio vettore che unisce il centro del sole al centro di un pianeta. Poi troviamo la linea degli apsidi, che è la retta passante per i due fuochi dell’ellisse insieme ai suoi punti di intersezione con l’ellisse chiamati apsidi o vertici.

Da questa legge capiamo inoltre che la distanza della Terra dal Sole non è sempre uguale ma cambia. Infatti il punto in cui il nostro pianeta si trova più distante dal Sole è detto afelio, mentre il punto in cui la Terra è più vicina al Sole si chiama perielio. Le corrispondenti distanze vengono dette distanza al perielio e distanza all’afelio . Risulta:

Seconda Legge (Legge delle aree, 1609)modifica | modifica wikitesto

Illustrazione della legge delle aree

La seconda legge afferma che:

«Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.»

[1]

Conseguenze della seconda leggemodifica | modifica wikitesto

  • La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. Le due aree evidenziate nella figura qui a fianco sono infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che nell'afelio, l'arco di ellisse è corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al perielio e minima all'afelio.
  • Il momento angolare orbitale del pianeta si conserva (vedi riquadro sotto per la dimostrazione).
  • La velocità lungo una determinata orbita è inversamente proporzionale al modulo del raggio vettore. Questa è una conseguenza della conservazione del momento angolare. Se L, dato dal prodotto di m, r e vt è costante, allora ne discende che la velocità tangenziale, vt, è inversamente proporzionale a r (si veda "momento angolare" per la definizione di L, m, r e vt).
  • Sul pianeta viene esercitata una forza centrale, cioè diretta secondo la congiungente tra il pianeta e il Sole. La seconda legge della dinamica per i sistemi in rotazione è

dove M è il momento meccanico applicato. Poiché L si conserva, la sua variazione è nulla e quindi anche M è nullo. Questo può accadere solo se F è parallelo a r, cioè è diretto come la congiungente con il Sole.

Keplero velocità areolare.jpg

La seconda legge di Keplero risulta quindi generalizzabile a un qualsiasi moto centrale, legando l'accelerazione tangenziale alla velocità areolare. Nella figura qui a fianco OA rappresenta il raggio vettore e AB la traiettoria del pianeta nel tempo Δ t. Se Δ t è sufficientemente piccolo, AB può essere approssimato da un segmento di retta. Sia inoltre θ l'angolo tra il raggio vettore e AB. Nel tempo Δ t viene quindi descritta un'area

La velocità areolare è quindi

essendo

la velocità orbitale istantanea. Poiché è il modulo del momento angolare, risulta . Se è costante, anche L lo è.

La seconda legge di Keplero non è altro che la conservazione del Momento angolare (la costanza del momento angolare, deriva, a sua volta, dal fatto che la forza è centrale).

Terza Legge (Legge dei periodi, 1619)modifica | modifica wikitesto

Keplero terza legge.jpg

La terza legge afferma che:

«I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali al cubo delle loro distanze medie dal Sole.»

Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore dell'orbita è lo stesso per tutti i pianeti

Questa legge può essere espressa in forma matematica nel modo seguente:

dove è il semiasse maggiore dell'orbita, T il periodo di rivoluzione e K una costante (a volte detta di Keplero), che dipende dal corpo celeste attorno al quale avviene il moto di rivoluzione.

Se si considera il moto di rivoluzione dei pianeti del sistema solare attorno al Sole e si misurano le distanze in unità astronomiche e il tempo in anni solari (come nella figura qui a fianco) K vale 1. Rimarchiamo il fatto che la terza legge vale anche per i satelliti che orbitano intorno ai pianeta: il valore della costante, cambia da pianeta a pianeta mentre per un fissato pianeta, essa è uguale per tutti i satelliti del suddetto pianeta. Per un'orbita circolare la formula si riduce a

dove r è il raggio dell'orbita.

Si può dimostrare che , con per il caso gravitazionale e massa ridotta. La dimostrazione è particolarmente semplice nel caso di orbita circolare di raggio e nell'approssimazione in cui una massa (per esempio quella del sole) sia molto più grande dell'altra (pianeta), ovvero . La forza di attrazione gravitazionale è , e la forza centrifuga (supponendo fissa) è dove è la pulsazione e il periodo. Uguagliando le due forze si ottiene

Limiti di validità delle leggi di Keplero e loro applicabilitàmodifica | modifica wikitesto

Va specificato che le leggi di Keplero così formulate sono esatte se e solo se sono soddisfatte le seguenti ipotesi:

  • la massa del pianeta è trascurabile rispetto a quella della stella di riferimento;
  • si possono trascurare le interazioni tra diversi pianeti, o tra pianeta e altri corpi come satelliti (tali interazioni portano a leggere perturbazioni sulla forma delle orbite);
  • l'intensità della gravità permette di trascurare gli effetti della teoria della relatività generale.

Ci si è riferiti sempre ai pianeti, ma le tre leggi di Keplero sono applicabili a qualunque corpo orbitante intorno ad un altro, per esempio ai satelliti, naturali o artificiali (sempre sotto le tre ipotesi qui sopra).

Notemodifica | modifica wikitesto

  1. ^ Dimostrazione della seconda legge di Keplero, su matematicamente.it, 27 maggio 2018.

Bibliografiamodifica | modifica wikitesto

Voci correlatemodifica | modifica wikitesto

Altri progettimodifica | modifica wikitesto

Collegamenti esternimodifica | modifica wikitesto

Controllo di autoritàGND (DE4365820-9
Fisica Portale Fisica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica