Orbita (matematica)

In matematica, in particolare in geometria differenziale, un'orbita di un sistema dinamico è una traiettoria percorsa dal sistema nello spazio delle fasi, ovvero una funzione che soddisfa l'equazione che definisce il sistema dinamico stesso.

Se il sistema dinamico è continuo, cioè è determinato da un'equazione differenziale ordinaria autonoma:

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=F(X(t))}$

con ${\displaystyle F:M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ un campo vettoriale differenziabile definito nello spazio delle fasi ${\displaystyle M}$, un'orbita è una soluzione ${\displaystyle X(t)}$ dell'equazione. Dal momento che il flusso ${\displaystyle \Phi _{t}(x):M\to M}$ del sistema nel punto ${\displaystyle x_{0}}$ è la soluzione quando ${\displaystyle x_{0}}$ è preso come il punto di inizio dell'evoluzione del sistema, ovvero ${\displaystyle \Phi _{t}(x_{0})\equiv X(t)}$, si ha che l'orbita passante per ${\displaystyle x_{0}}$ è talvolta scritta come l'insieme:

${\displaystyle \{\Phi _{t}(x_{0}):-\infty <t<\infty \}}$

Definizionemodifica | modifica wikitesto

Dato un sistema dinamico ${\displaystyle (T,M,\Phi )}$ dove ${\displaystyle T}$ è un gruppo, ${\displaystyle M}$ un insieme e ${\displaystyle \Phi :U\to M}$, con ${\displaystyle U\subset T\times M}$, si definisce:

${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}}$

Allora l'insieme:

${\displaystyle \gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M}$

è l'orbita passante per ${\displaystyle x}$. Se l'orbita consiste in un solo punto allora si dice orbita costante; ad esempio l'orbita in corrispondenza di un punto di equilibrio.

Un'orbita non costante è detta orbita periodica o orbita chiusa se esiste ${\displaystyle t\in T}$ tale per cui ${\displaystyle \Phi (t,x)=x}$ per ogni punto ${\displaystyle x}$ dell'orbita.

Sistemi dinamici reali (flussi)modifica | modifica wikitesto

Dato un sistema dinamico reale su ${\displaystyle M}$ con evoluzione ${\displaystyle \Phi (t,x)}$, sia ${\displaystyle I(x)\subset \mathbb {R} }$ un intervallo aperto:

${\displaystyle I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})\qquad \forall x\in M}$

La curva:

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}\equiv \{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}}$

è la semi-orbita positiva passante per ${\displaystyle x}$, mentre:

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}\equiv \{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}}$

è la semi-orbita negativa passante per ${\displaystyle x}$.

Sistemi dinamici discreti (mappe)modifica | modifica wikitesto

Si consideri un sistema discreto avente funzione di evoluzione (ricorsiva) ${\displaystyle \Phi (t,x):X\to X}$, con ${\displaystyle t\in \mathbb {N} }$ il numero di iterazione. Detto ${\displaystyle x\in X}$ il punto iniziale, l'orbita passante per ${\displaystyle x}$ è:

${\displaystyle \gamma _{x}\equiv \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}}$

dove:

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}\equiv \{\Phi (t,x):t\geq 0\}}$

e:

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}\equiv \{\Phi (-t,x):t\geq 0\}}$

Sistemi dinamici in due dimensionimodifica | modifica wikitesto

Dato un sistema di equazioni differenziali in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ del seguente tipo:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'=f(x,y)\\y'=g(x,y)\end{matrix}}\right.}$

La curva descritta nel piano al variare di ${\displaystyle t}$ da ogni soluzione ${\displaystyle x=x(t)}$ e ${\displaystyle y=y(t)}$ del sistema è la traiettoria del sistema. Se il sistema soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza e unicità di Cauchy, allora per ogni punto del piano passa un'orbita e una sola del sistema.

Le equazioni del sistema si possono interpretare da un punto di vista cinematico: il sistema descrive il moto di una particella ${\displaystyle (x,y)}$ la cui velocità ${\displaystyle (x',y')}$ è data in ogni punto da ${\displaystyle (f(x,y),g(x,y))}$. Le orbite del sistema sono le traiettorie chiuse descritte dalla particella e i punti critici sono i punti di equilibrio.

Sistemi dinamici linearimodifica | modifica wikitesto

Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare.

L'andamento qualitativo delle soluzioni del sistema:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{matrix}}\right.}$

si ottiene derivando la prima equazione e inserendo al posto di ${\displaystyle y'}$ la seconda:

${\displaystyle x''=ax'+b(cx+dy)=ax'+bcx+bdy}$

Dalla prima equazione si ricava ${\displaystyle by=x'-ax}$ e sostituendo si ottiene l'equazione lineare:

${\displaystyle x''=(a+d)x'+(bc-ad)x}$

riordinando i termini:

${\displaystyle x''-(a+d)x'+(ad-bc)x=0}$

Si è così dimostrato che se ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ è una soluzione del sistema lineare allora le funzioni ${\displaystyle x(t)}$ e ${\displaystyle y(t)}$ risolvono l'uguaglianza precedente, la cui equazione caratteristica è:

${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)=0}$

e coincide con il polinomio caratteristico della matrice dei coefficienti del sistema assegnato:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}$

ossia:

${\displaystyle \det(\lambda \,{\rm {I}}-A)}$

Dunque le radici:

${\displaystyle \lambda _{1,\,2}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}}$

sono gli autovalori della matrice ${\displaystyle A}$.

Il comportamento delle soluzioni del sistema dipende dalla natura degli autovalori, e si distinguono i vari casi:

• Nodo stabile: ${\displaystyle \lambda _{1,\,2}<0}$
• Nodo instabile: ${\displaystyle \lambda _{1,\,2}>0}$
• Sella (instabile): ${\displaystyle \lambda _{1}>0}$ e ${\displaystyle \lambda _{1}<0}$ oppure ${\displaystyle \lambda _{1}<0}$ e ${\displaystyle \lambda _{1}>0}$
• Centro (stabile): ${\displaystyle \lambda _{1,\,2}=\pm \beta i}$
• Fuoco stabile: ${\displaystyle \lambda _{1,\,2}=\alpha \pm \beta i}$ con ${\displaystyle \alpha <0}$
• Fuoco instabile: ${\displaystyle \lambda _{1,\,2}=\alpha \pm \beta i}$ con ${\displaystyle \alpha >0}$

Bibliografiamodifica | modifica wikitesto

• (EN) Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1996, ISBN 0-521-57557-5.

Voci correlatemodifica | modifica wikitesto

• Ciclo limite
• Insieme limite
• Punto periodico
• Sistema dinamico
• Stabilità interna
• Teorema di LaSalle
• Teorema di Sharkovsky
• Traiettoria
• Varietà stabile

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