Piano (geometria)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search
Rappresentazione di due piani che si intersecano

Il piano è un concetto primitivo della geometria, ossia un concetto per il quale non esiste una definizione formale e che si suppone intuitivamente comprensibile e/o esperianzialmente acquisito, pertanto un'idea universalmente accettata e unica rappresentabile con oggetti concreti che fungono da esempio ma che per la loro sussistenza stessa non risolvono pienamente il concetto (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta).

Nel caso del piano per rappresentarlo idealmente si pensi a un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto, ma non è il foglio di carta sia perché questo ha uno spessore e un piano ideale non ne ha e sia perché non è possibile produrre o ritrovare un foglio di carta di dimensioni infinite.

In definitiva, esso:

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Piani nello spazio tridimensionalemodifica | modifica wikitesto

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale è del tipo:

con e non tutti nulli.

Equazione cartesianamodifica | modifica wikitesto

Piano passante per tre puntimodifica | modifica wikitesto

Siano tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno e un solo piano . Un punto appartiene al piano solo se il vettore è combinazione lineare dei vettori e , ossia se

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

dove

Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce come segue:

dove è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra , e .

Posizioni reciproche di due pianimodifica | modifica wikitesto

Piani paralleli

Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 2, il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità () soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità () e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (parallelismo improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 0, il sistema risulta essere incompatibile e i piani sono paralleli e distinti (parallelismo proprio).

Distanza di un punto da un pianomodifica | modifica wikitesto

È possibile calcolare la distanza di un punto da un piano utilizzando la seguente formula:

In particolare, se , allora il punto appartiene al piano .

Voci correlatemodifica | modifica wikitesto

Altri progettimodifica | modifica wikitesto

Controllo di autoritàThesaurus BNCF 23216
Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica