Teorema della base di Hilbert
In matematica, il teorema della base di Hilbert è un risultato dell'algebra commutativa, fondamentale nello studio degli anelli noetheriani. Esso afferma che, se è noetheriano, allora l'anello dei polinomi è ancora noetheriano; ricorsivamente, questo dimostra che , così come ogni -algebra finitamente generata, è un anello noetheriano.
Il teorema è stato dimostrato per la prima volta da David Hilbert nel 1888 nel caso in cui è un campo, e poi generalizzato nella forma attuale da Emmy Noether. Una dimostrazione costruttiva (a differenza di quella di Hilbert) fu data da Paul Gordan nel 1900.[1]
Il risultato è anche importante in geometria algebrica, in quanto dimostra che ogni insieme algebrico può essere definito da un numero finito di equazioni polinomiali.
Dimostrazione modifica
Supponiamo per assurdo che non sia noetheriano; allora, esiste un ideale non finitamente generato. Costruiamo una successione di polinomi nel modo seguente:
- è un elemento di di grado minimo (tra gli elementi di );
- è un elemento di di grado minimo tra gli elementi di .
Sia il coefficiente direttore di , e sia il grado di .
Sia l'ideale di generato dagli ; poiché è noetheriano, è finitamente generato. In particolare, è generato da per un certo intero .
In particolare, si può scrivere ; consideriamo il polinomio
- .
Per definizione, appartiene a ; inoltre, è un polinomio di grado il cui coefficiente direttore è . In particolare, il polinomio
è un polinomio di grado che appartiene a (perché vi appartengono sia che ) ma non a (perché vi appartiene ma non ). Questo tuttavia contrasta con la scelta di come polinomio di grado minimo in : di conseguenza, deve essere un ideale finitamente generato, e è un anello noetheriano.
Note modifica
- ^ (FR) Paul Gordan, Les invariants des formes binaires, in Journal de mathématiques pures et appliquées 5e série, vol. 6, 1900, pp. 141-156.
Bibliografia modifica
- (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
- (EN) David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.