Varianza

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search
Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il grado di libertà in termodinamica, vedi Grado di libertà (chimica).

In statistica e in teoria della probabilità la varianza di una variabile statistica o di una variabile aleatoria è una funzione, indicata con o con (o semplicemente con se la variabile è sottintesa), che fornisce una misura della variabilità dei valori assunti dalla variabile stessa; nello specifico, la misura di quanto essi si discostino quadraticamente rispettivamente dalla media aritmetica o dal valore atteso .

Il termine di "varianza" venne introdotto nel 1918 da Ronald Fisher e sostituì nel tempo la denominazione di "deviazione standard quadratica" utilizzata da Karl Pearson.

Probabilitàmodifica | modifica wikitesto

Definizionemodifica | modifica wikitesto

La varianza della variabile aleatoria è definita come il valore atteso del quadrato della variabile aleatoria centrata

Un esempio di "misura" dello scostamento di una variabile aleatoria dalla media è dato dalla disuguaglianza di Čebyšëv che controlla questo scostamento in termini dello scarto tipo:

dove

Proprietàmodifica | modifica wikitesto

Segno della varianzamodifica | modifica wikitesto

La varianza di una variabile aleatoria non è mai negativa, ed è zero solamente quando la variabile assume quasi certamente un solo valore , cioè se .

Massimo e minimo della varianza fissati i valori estremi della distribuzionemodifica | modifica wikitesto

Dato un insieme di unità statistiche, dove e sono i valori minimo e massimo tra le unità, il massimo valore che può assumere la varianza è uguale a

Se delle osservazioni si conosce soltanto la media , il valore è uguale a

Espressione della varianza come differenza tra il momento di ordine 2 e il quadrato del valore attesomodifica | modifica wikitesto

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Formula computazionale per la varianza.

Una formula alternativa per la varianza è

Questa formula è più pratica per calcolare la varianza.

Dimostrazione

La varianza di è per definizione pari al valore atteso di

:

per la linearità del valore atteso si ottiene

.

Invarianza per traslazionemodifica | modifica wikitesto

La varianza è invariante per traslazione, che lascia fisse le distanze dalla media, e cambia quadraticamente per riscalamento:

Dimostrazione

Sfruttando la linearità del valore atteso si trova

quindi

Varianza della somma di due variabili indipendentimodifica | modifica wikitesto

La varianza della somma di due variabili indipendenti o anche solo incorrelate è pari alla somma delle loro varianze

Dimostrazione

Se , allora e

e siccome le variabili sono indipendenti risulta

Nel caso generale basta traslare le variabili di modo che abbiano valore atteso nullo (come ); la loro varianza non cambia in quanto la varianza è invariante per traslazione.

Varianza della differenza di due variabili indipendentimodifica | modifica wikitesto

Usando le due precedenti affermazioni, possiamo dire che la varianza della differenza di due variabili indipendenti è pari alla somma delle loro varianze

Varianza della somma di due variabili non indipendentimodifica | modifica wikitesto

Se e non sono indipendenti, la formula viene corretta dalla loro covarianza,

dove

Varianza della media aritmetica di variabili indipendentimodifica | modifica wikitesto

In particolare, la media aritmetica di variabili aleatorie indipendenti aventi la medesima distribuzione, ha varianza aritmetica

Variabili aleatorie discrete e continuemodifica | modifica wikitesto

La varianza di una variabile aleatoria discreta a valori in un insieme si calcola attraverso la sua funzione di probabilità:

La varianza di una variabile aleatoria continua a valori in un insieme si calcola attraverso la sua densità di probabilità:

Esempiomodifica | modifica wikitesto

Una variabile aleatoria di Bernoulli , cioè che ha probabilità di fornire "1" e probabilità di fornire "0", ha valore atteso

e la sua varianza può essere calcolata come

oppure come

Statisticamodifica | modifica wikitesto

In statistica la varianza è un indice di variabilità. Data una distribuzione di un carattere quantitativo su una popolazione di elementi, la varianza è la media aritmetica del quadrato delle distanze dei valori dalla loro media

dove è la media aritmetica di .

Nel caso si disponga della distribuzione di frequenze di un carattere, è possibile calcolare più facilmente la varianza attraverso la seguente formula:

dove rappresenta il numero di modalità in cui si presenta il carattere x, mentre e sono rispettivamente la j-esima modalità di x e la relativa frequenza assoluta.

A partire dalla precedente formula, ricordando che , si ricava anche:

dove è la frequenza relativa della j-esima modalità.

Esiste, infine, una formula semplificata per il calcolo della varianza:

Le formule corrispondenti alla precedente che fanno uso della frequenza assoluta e di quella relativa sono:

Il difetto della varianza è quello di non avere la stessa unità di misura dei valori analizzati (se, per esempio, questi sono in cm, la varianza sarà in cm2), perciò in statistica viene molto spesso utilizzata anche la radice quadrata della varianza, vale a dire lo scarto quadratico medio (o deviazione standard o scarto tipo) . Con riferimento a questa notazione la varianza si trova quindi anche indicata come .

Stimatorimodifica | modifica wikitesto

In statistica si utilizzano solitamente due stimatori per la varianza su un campione di cardinalità :

e

dove è la media campionaria. Il primo è detto varianza campionaria, mentre il secondo è detto varianza campionaria corretta a causa della sua proprietà di correttezza. Infatti lo stimatore è privo di distorsione, cioè il suo valore atteso è proprio la varianza:

.
Dimostrazione

Al contrario, lo stimatore ha un valore atteso diverso dalla varianza, .

Una spiegazione del termine è data dalla necessità di stimare anche la media che per il teorema del limite centrale ha varianza 1/n. Se la media è nota, lo stimatore diventa corretto. Questa è detta "correzione di Bessel".

Se le sono variabili aleatorie normali , lo stimatore è una variabile aleatoria con distribuzione .

Esempiomodifica | modifica wikitesto

Il campione di elementi ha media campionaria pari a:

e gli stimatori della varianza valgono rispettivamente

e

Voci correlatemodifica | modifica wikitesto

Altri progettimodifica | modifica wikitesto

Collegamenti esternimodifica | modifica wikitesto

Controllo di autoritàThesaurus BNCF 22052 · GND (DE4078739-4 · NDL (ENJA00561029